Question

13．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，點(diǎn)P（m，n）（m＞p）在拋物線C上，且△FOP的外接圓圓心到準(zhǔn)線l的距離為$\frac{3}{4}$．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若直線PF與拋物線C交于另一點(diǎn)A，證明：k_MP+k_MA為定值；
（3）過(guò)點(diǎn)P作圓（x-1）²+y²=1的兩條切線，與y軸分別交于D、E兩點(diǎn)，求△PDE面積取得最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的m值．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，求得外接圓圓心的橫坐標(biāo)，由題意可得p=1，進(jìn)而得到拋物線方程；
（2）設(shè)直線PF：x=my+$\frac{1}{2}$，代入拋物線方程y²=2x，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理即可得到定值0；
（3）在直角三角形BFP中，利用勾股定理表示出PB，再由切線長(zhǎng)定理得到PB=PC，EO=EC，DO=DB，用兩種方法分別表示出三角形PDE的面積，兩者相等表示出DE即可，整理后利用基本不等式求出面積的最小值，以及此時(shí)n的值，即可確定出此時(shí)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線l：x=-$\frac{p}{2}$，
由△FOP的外接圓圓心到準(zhǔn)線l的距離為$\frac{3}{2}$，
則圓心的橫坐標(biāo)為$\frac{p}{4}$，即有$\frac{p}{4}$+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{4}$，
解得p=1，
則拋物線方程為y²=2x；
（2）由題意可得F（$\frac{1}{2}$，0），M（-$\frac{1}{2}$，0），
設(shè)點(diǎn)P（$\frac{1}{2}$n²，n），A（$\frac{1}{2}$t²，t），
設(shè)直線PF：x=my+$\frac{1}{2}$，代入拋物線方程y²=2x，
可得y²-2my-1=0，n+t=2m，nt=-1．
則k_MP+k_MA=$\frac{n}{\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}}$+$\frac{t}{\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{1}{2}}$，
上式通分后得分子為$\frac{1}{2}$（n+t）+$\frac{1}{2}$nt（n+t）=m-m=0，
故k_MP+k_MA為定值．
（3）由題意得：PB=$\sqrt{P{F}^{2}-1}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}{n}^{2}-1）^{2}+{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$n²，
由切線長(zhǎng)知識(shí)PB=PC，EO=EC，DO=DB，
∴S_△PDE=$\frac{1}{2}$DE•P_{橫坐標(biāo)}=$\frac{1}{4}$DE•n²，
又S_△PDE=$\frac{1}{2}$（PB+PC+EO）r=$\frac{1}{2}$（EC+DO+DB）r=$\frac{1}{2}$（2DE+2PB）r=DE+$\frac{1}{2}$n²，
∴$\frac{1}{4}$DE•n²=DE+$\frac{1}{2}$n²，
解得DE=$\frac{2{n}^{2}}{{n}^{2}-4}$，
S_△PDE=$\frac{1}{2}$DE•P_{橫坐標(biāo)}=$\frac{1}{2}$•$\frac{2{n}^{2}}{{n}^{2}-4}$•$\frac{1}{2}$n²=$\frac{1}{2}$•$\frac{{n}^{4}}{{n}^{2}-4}$
=$\frac{1}{2}$[（n²-4）+$\frac{16}{{n}^{2}-4}$+8]≥$\frac{1}{2}$×（8+2×4）=8，
當(dāng)且僅當(dāng)n²-4=4，即n=±2$\sqrt{2}$，取等號(hào)．
即△PDE面積取得最小值8時(shí)，對(duì)應(yīng)的m=4．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了拋物線的方程和性質(zhì)，同時(shí)考查直線與圓的位置關(guān)系，三角形的面積公式，直線的一般式方程，以及點(diǎn)到直線的距離公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．