Question

3．已知雙曲線(xiàn)C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)（-2，0）是C的一個(gè)焦點(diǎn)，一條漸進(jìn)線(xiàn)方程為$\sqrt{3}$x-y=0．
（Ⅰ）求雙曲線(xiàn)方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)l：y=kx+1與雙曲線(xiàn)C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)雙曲線(xiàn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，a＞0，b＞0，依題意，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}=4}\\{\frac{a}=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得即可，
（Ⅱ）聯(lián)立方程組，消元，根據(jù)判別式即可求出k的值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線(xiàn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，a＞0，b＞0，
依題意，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}=4}\\{\frac{a}=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$a=1\;，b=\sqrt{3}$，所以雙曲線(xiàn)方程x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
（Ⅱ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{3{x}^{2}-{y}^{2}-3=0}\end{array}\right.$得（3-k²）x²-2kx-4=0，
因?yàn)橹本�(xiàn)與雙曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以3-k²=0或△=（-2k）²+16（3-k²）=0，
即k²=4或k²=3，
所以k=±$\sqrt{3}$或k=±2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，主要考查漸近線(xiàn)方程的運(yùn)用，以及直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．