Question

4．設F（n）=a₁-a₂C_n¹+a₃C_n²-a₄C_n³+…+（-1）ⁿa_n+1C_nⁿ（n≥2，n∈N^*）．
（1）若數(shù)列{a_n}的各項均為1，求證：F（n）=0；
（2）若對任意大于等于2的正整數(shù)n，都有F（n）=0恒成立，試證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列{a_n}的各項均為1，結合二項式定理，即可證明結論；
（2）利用數(shù)學歸納法進行證明即可．

解答 證明：（1）因數(shù)列{a_n}滿足各項為1，即$F（n）=C_n^0-C_n^1+C_n^2-C_n^3+…+{（-1）^n}C_n^n$，
由${（1+x）^n}=C_n^0+C_n^1x+C_n^2{x^2}+C_n^3{x^3}+…+C_n^n{x^n}$，令x=-1，
則$0=C_n^0-C_n^1+C_n^2-C_n^3+…+{（-1）^n}C_n^n$，即F（n）=0..…（3分）
（2）當n=2時，$F（2）={a_1}-{a_2}C_2^1+{a_3}C_2^2=0$，即2a₂=a₁+a₃，所以數(shù)列{a_n}的前3項成等差數(shù)列．
假設當n=k時，由$F（k）={a_1}-{a_2}C_k^1+{a_3}C_k^2-{a_4}C_k^3+…+{（-1）^k}{a_{k+1}}C_k^k=0$，可得數(shù)列{a_n}的前k+1項成等差數(shù)列，…（5分）
因對任意大于等于2的正整數(shù)n，都有F（n）=0恒成立，所以F（k+1）=0成立，
所以$\left\{\begin{array}{l}{a_1}-{a_2}C_k^1+{a_3}C_k^2-{a_4}C_k^3+…+{（-1）^k}{a_{k+1}}C_k^k=0\\{a_1}-{a_2}C_{k+1}^1+{a_3}C_{k+1}^2-{a_4}C_{k+1}^3+…+{（-1）^{k+1}}{a_{k+2}}C_{k+1}^{k+1}=0\end{array}\right.$，
兩式相減得，$-{a_2}（C_{k+1}^1-C_k^1）+{a_3}（C_{k+1}^2-C_k^2）+…+{（-1）^k}{a_{k+1}}（C_{k+1}^k-C_k^k）+{（-1）^{k+1}}{a_{k+2}}C_{k+1}^{k+1}=0$，
因$C_{n+1}^{m+1}=C_n^{m+1}+C_n^m$，
所以$-{a_2}C_k^0+{a_3}C_k^1-{a_4}C_k^2+…+{（-1）^k}{a_{k+1}}C_k^{k-1}+{（-1）^{k+1}}{a_{k+2}}C_k^k=0$，
即${a_2}C_k^0-{a_3}C_k^1+{a_4}C_k^2+…+{（-1）^{k-1}}{a_{k+1}}C_k^{k-1}+{（-1）^k}{a_{k+2}}C_k^k=0$，
由假設可知a₂，a₃，a₄，…，a_k+1，a_k+2也成等差數(shù)列，從而數(shù)列{a_n}的前k+2項成等差數(shù)列．
綜上所述，若F（n）=0對任意n≥3恒成立，則數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．…（10分）

點評 本題考查二項式定理的運用，考查數(shù)學歸納法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．