Question

9．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2co{s}^{2}α}\\{y=sin2α}\end{array}\right.$（α是參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{1}{sinθ-cosθ}$．
（1）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）求曲線C₁上的任意一點(diǎn)P到曲線C₂的最小距離，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2co{s}^{2}α}\\{y=sin2α}\end{array}\right.$（α是參數(shù)），x=2cos²α=1+cos2α，利用cos²2α+sin²2α=1即可得出．
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{1}{sinθ-cosθ}$，化為ρsinθ-ρcosθ=1，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出．
（2）設(shè)與曲線C₂平行且與曲線C₁的直線方程為y=x+t，代入圓的方程可得：2x²+2（t-1）x+t²=0，利用△=0，解得t．利用平行線之間的距離公式可得最小距離，進(jìn)而得出點(diǎn)P．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2co{s}^{2}α}\\{y=sin2α}\end{array}\right.$（α是參數(shù)），x=2cos²α=1+cos2α，∴（x-1）²+y²=1．
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{1}{sinθ-cosθ}$，化為ρsinθ-ρcosθ=1，∴y-x=1，即x-y+1=0．
（2）設(shè)與曲線C₂平行且與曲線C₁的直線方程為y=x+t，代入圓的方程可得：2x²+2（t-1）x+t²=0，∵△=4（t-1）²-8t²=0，化為t²+2t-1=0，解得$t=-1±\sqrt{2}$．
取t=$\sqrt{2}$-1，直線y=x+1與切線$y=x+\sqrt{2}-1$的距離d=$\frac{|\sqrt{2}-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1，即為曲線C₁上的任意一點(diǎn)P到曲線C₂的最小距離．
此時(shí)2x²+2（t-1）x+t²=0，化為$[\sqrt{2}x-（\sqrt{2}-1）]^{2}$=0，解得x=$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴P$（\frac{2-\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓相切轉(zhuǎn)化為△=0、平行線之間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．