Question

等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₃a₁+log₃a₂+…log₃a_n，若c_n=-

1

bn

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a₃²=9a₄²和各項(xiàng)均為正數(shù)，得q=

1

3

．由2a₁+3a₂=1，得a₁=

1

3

，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)式．
（2）由已知條件推導(dǎo)出

1

bn

=-

2

n(n+1)

=-2（

1

n

-

1

n+1

），由此能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
由a₃²=9a₂a₆，
得a₃²=9a₄²，∴q²=

1

9

，
由條件可知各項(xiàng)均為正數(shù)，∴q=

1

3

．
由2a₁+3a₂=1得2a₁+3a₁q=1，∴a₁=

1

3

．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)式為a_n=

1

3n

．
（2）∵a_n=

1

3n

，
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+…log₃a_n
=-（1+2+…+n）
=-

n(n+1)

2

，
∴

1

bn

=-

2

n(n+1)

=-2（

1

n

-

1

n+1

），
∵c_n=-

1

bn

，
∴S_n=-（

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

）
=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=

2n

n+1

，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為

2n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．