Question

設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：
（1）

1

a

+

1

b

+

1

c

≥9          
（2）ab+bc+ac≤

1

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）

1

a

+

1

b

+

1

c

=（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）=3+（

b

a

+

a

b

）+（

c

a

+

a

c

）+（

c

b

+

b

c

），利用基本不等式，即可證明；
（2）利用基本不等式可知a²+b²≥2ab，a²+c²≥2ac，b²+c²≥2bc，從而可得a²+b²+c²≥ab+ac+bc；再利用（a+b+c）²=1，即可證得結(jié)論．

解答： 證明：（1）∵a+b+c=1，
∴

1

a

+

1

b

+

1

c

=（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）=3+（

b

a

+

a

b

）+（

c

a

+

a

c

）+（

c

b

+

b

c

），
∵a、b、c均為正數(shù)，
∴

b

a

+

a

b

≥2，

c

a

+

a

c

≥2，

c

b

+

b

c

≥2，
代入上式，得

1

a

+

1

b

+

1

c

≥9          
（2）∵a，b，c均為正數(shù)，
∴a²+b²≥2ab，
a²+c²≥2ac，
b²+c²≥2bc，
以上三式累加得：2（a²+b²+c²）≥2（ab+ac+bc），
∴a²+b²+c²≥ab+ac+bc；①
又a+b+c=1，
∴（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+ac+bc）=1≥3（ab+bc+ca），
∴ab+bc+ca≤

1

3

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=

1

3

時(shí)取“=”）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，著重考查基本不等式的應(yīng)用，考查分析轉(zhuǎn)化與推理證明能力，屬于中檔題．