Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）恒過定點(diǎn)A（1，2），則橢圓的中心到直線l：x=

a2

c

的距離的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）恒過定點(diǎn)A（1，2），可得

1

a2

+

4

b2

=1，利用橢圓幾何量之間的關(guān)系，設(shè)

a2

c

=t，等式可轉(zhuǎn)化為t²a⁴-（t²+1）a²+5=0，有正根的問題求解，即可求得橢圓的中心到準(zhǔn)線的距離的最小值．

解答： 解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）恒過定點(diǎn)A（1，2），
∴可得

1

a2

+

4

b2

=1
設(shè)橢圓的中心到直線l：x=

a2

c

的距離為d=

a2

c

橢圓的焦距為2c，同時(shí)可設(shè)

a2

c

=t，∴c=ta²

∴b²+4a²=a²b²
∴5a²-c²=a²（a²-c²）
∴5a²-（ta²）²=a²[a²-（ta²）²]
∴t²a⁴-（t²+1）a²+5=0有正根，∴

△≥0 t2+1 t2 ＞0 5＞0

即只需△=（t²+1）²-20t²≥0，且t＞0時(shí)，方程有解
∴t²-2

5

t+1≥0
∴t≥

5

+2，或0＜t≤

5

-2
橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）恒過定點(diǎn)A（1，2），
∴橢圓的中心到準(zhǔn)線x=

a2

c

＞1
∴橢圓的中心到準(zhǔn)線的距離的最小值

5

+2，
故答案為：

5

+2，

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，考查解不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有一定的技巧．