已知橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為4,且過點P(,).

(1)求橢圓C的方程;

(2)設Q(x0,y0)(x0y0≠0)為橢圓C上一點.過點Q作x軸的垂線,垂足為E.取點A(0,2),連接AE,過點A作AE的垂線交x軸于點D.點G是點D關于y軸的對稱點,作直線QG,問這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點?并說明理由.

 

【答案】

(1) +=1 (2) 直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點，理由見解析

【解析】

解:(1)因為焦距為4,

所以a2-b2=4.

又因為橢圓C過點P(,),

所以+=1,

故a2=8,b2=4,

從而橢圓C的方程為+=1.

(2)一定有唯一的公共點.

由題意,E點坐標為(x0,0).

設D(xD,0),則=(x0,-2),=(xD,-2).

再由AD⊥AE知, ·=0,

即xDx0+8=0.

由于x0y0≠0,故xD=-.

因為點G是點D關于y軸的對稱點,所以點G（,0）.

故直線QG的斜率kQG==.

又因Q(x0,y0)在橢圓C上,

所以+2=8.①

從而kQG=-.

故直線QG的方程為

y=-（x-）.②

將②代入橢圓C方程,得

(+2)x2-16x0x+64-16=0.③

再將①代入③,化簡得

x2-2x0x+=0.

解得x=x0,y=y0,

即直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點.

 

練習冊系列答案
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已知橢圓C 1：
x2
a2
+
y2
b2
=λ1（a＞b＞0，λ1＞0）和雙曲線C 2：
x2
m2
-
y2
n2
=λ2(λ2≠0)，給出下列命題：
①對于任意的正實數(shù)λ1，曲線C1都有相同的焦點；
②對于任意的正實數(shù)λ1，曲線C1都有相同的離心率；
③對于任意的非零實數(shù)λ2，曲線C2都有相同的漸近線；
④對于任意的非零實數(shù)λ2，曲線C2都有相同的離心率．
其中正確的為（　　）

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（07年陜西卷） (14分)

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       已知橢圓C: +=1（a＞b＞0）的離心率e=，且橢圓經(jīng)過點N（2，-3）．

   （1）求橢圓C的方程；

   （2）求橢圓以M（-1，2）為中點的弦所在直線的方程．

 

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