Question

如圖，E，F是邊長為3的正方形ABCD的邊AD上兩個點，且AE=DF．連接CF交BD于G，連接BE交AG于點H，若|CH|²：|CE|²=9：10，則AE的長為

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的性質

專題：立體幾何

分析：通過建立直角坐標系，利用直線的方程可得交點G，H的坐標，利用兩點之間的距離公式可得|CH|，|CE|，再利用|CH|²：|CE|²=9：10，解出即可．

解答： 解：如圖所示，建立直角坐標系．
設E（a，3）（0＜a＜3），則F（3-a，3）．
直線BD的方程：y=x，
CF的方程為：y=

3-0

3-a-3

(x-3)，化為y=-

3

a

(x-3)，
聯立

y=x y=- 3 a (x-3)

，解得G(

9

3+a

，

9

3+a

)．
直線AG的方程為：y=

3- 9 3+a

0- 9 3+a

x+3，化為y=-

a

3

x+3．
直線BE的方程為：y=

3

a

x，
聯立

y=- a 3 x+3 y= 3 a x

，解得H(

9a

9+a2

，

27

9+a2

)．
|CH|=

(3- 9a 9+a2 )2+( 27 9+a2 )2

，
|CE|=

(3-a)2+9

．
∵|CH|²：|CE|²=9：10，
∴10[(3-

9a

9+a2

)2+(

27

9+a2

)2]=9[（3-a）²+9]
解得a=1．
∴|AE|=1．
故答案為：1．

點評：本題考查了建立直角坐標系利用直線的方程可得交點的坐標、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．