Question

如圖所示，四面體ABCD中，AB⊥BD、AC⊥CD且AD=3，BD=CD=2．
（1）求證：AD⊥BC；
（2）求二面角B-AC-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）作AH⊥平面BCD于H，連接BH、CH、DH，由已知得四邊形BHCD是正方形，且AH=1，以D為原
點(diǎn)，以DB所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，以垂直于DB，DC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AD⊥BC．
（2）求出平面ABC的法向量的平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角B-AC-D的余弦值．

解答： （1）證明　作AH⊥平面BCD于H，連接BH、CH、DH，
由已知得四邊形BHCD是正方形，且AH=1，以D為原
點(diǎn)，以DB所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，
以垂直于DB，DC的直線為z軸，建立空間直角坐
標(biāo)系，如圖所示，則B（2，0，0），
C（0，2，0），D（0，0，0）A（2，2，1），
所以

BC

=（-2，2，0），

DC

=（0，2，0），

AC

=（-2，0，-1），

DA

=（2，2，1），
因此

BC

•

DA

=-4+4=0，所以AD⊥BC．
（2）解：設(shè)平面ABC的法向量為

n1

=（x，y，z），
則由

n1

₁⊥

BC

知：

n1

•

BC

=-2x+2y=0，
同理由

n1

⊥

AC

知：

n1

•

AC

=-2x-z=0，
可取

n1

=（1，1，-2），
同理，可求得平面ACD的一個(gè)法向量為

n2

=（1，0，2），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1+4

6 • 5

=

30

6

，
即二面角B-AC-D的余弦值為

30

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定方法，正確運(yùn)用向量法解決面面角問(wèn)題．