Question

某市為了對(duì)學(xué)生的數(shù)理（數(shù)學(xué)與物理）學(xué)習(xí)能力進(jìn)行分析，從10000名學(xué)生中隨機(jī)抽出100位學(xué)生的數(shù)理綜合學(xué)習(xí)能力等級(jí)分?jǐn)?shù)（6分制）作為樣本，分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布如下表：

等級(jí)得分	（0，1]	（1，2]	（2，3]	（3，4]	（4，5]	（5，6]
人數(shù)	3	17	30	30	17	3

（Ⅰ）如果以能力等級(jí)分?jǐn)?shù)大于4分作為良好的標(biāo)準(zhǔn)，從樣本中任意抽取2名學(xué)生，求恰有1名學(xué)生為良好的概率；
（Ⅱ）統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值（例如區(qū)間（1，2]的中點(diǎn)值為1.5）作為代表：
（�。�據(jù)此，計(jì)算這100名學(xué)生數(shù)理學(xué)習(xí)能力等級(jí)分?jǐn)?shù)的期望μ及標(biāo)準(zhǔn)差σ（精確到0.1）；
（ⅱ） 若總體服從正態(tài)分布，以樣本估計(jì)總體，估計(jì)該市這10000名學(xué)生中數(shù)理學(xué)習(xí)能力等級(jí)在（1.9，4.1）范圍內(nèi)的人數(shù)．
（Ⅲ）從這10000名學(xué)生中任意抽取5名同學(xué)，他們數(shù)學(xué)與物理單科學(xué)習(xí)能力等級(jí)分?jǐn)?shù)如下表：

（�。┱�(qǐng)畫出右上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
（ⅱ）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程

y

=bx+a（附參考數(shù)據(jù)：

129

≈11.4）

Answer 1

分析：（Ⅰ）樣本中，學(xué)生為良好的人數(shù)為20人，本題即為從100人中抽2人，恰有一人成績(jī)良好的概率，屬古典概型，事件空間共有C₁₀₀²個(gè)基本事件，研究事件在其中占了C₂₀¹•C₂₀¹個(gè)
故概率為

C 1 20 × C 1 80

C 2 100

（Ⅱ）（i） 即估計(jì)這100個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，先計(jì)算等級(jí)得分的概率分布列，即加一行頻率，再利用期望公式和標(biāo)準(zhǔn)差公式計(jì)算即可
（ii）由（i）可知，學(xué)生學(xué)習(xí)能力得分x～N（3，（1.1）²），能力等級(jí)在（1.9，4.1）范圍內(nèi)，即X∈（3-1.1，3+1.1），由正態(tài)分布的性質(zhì)，P（μ-σ＜x＜μ+σ）=0.6826，所以數(shù)理學(xué)習(xí)能力等級(jí)在（1.9，4.1）范圍內(nèi)的人數(shù)為10000×0.6826=6826
（Ⅲ）（i）先建立平面直角坐標(biāo)系，再將表中數(shù)據(jù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)描出即可
（ii）求回歸直線方程的方法有兩種，一種是使用公式，先設(shè)出直線方程，再利用公式求出系數(shù)a，b，即可，另一種方法就是最小二乘法，通過(guò)求函數(shù)的最小值得回歸直線的系數(shù)a，b，一般情況下我們常使用第一種方法，但要知道公式才行

解答：解：（Ⅰ）樣本中，學(xué)生為良好的人數(shù)為20人．故從樣本中任意抽取 2名學(xué)生，則僅有1名學(xué)生為良好的概率為

C 1 20 × C 1 80

C 2 100

=

32

99

（Ⅱ）學(xué)生的數(shù)理綜合學(xué)習(xí)能力等級(jí)分?jǐn)?shù)頻率分布如下表：

等級(jí)得分	（0，1]	（1，2]	（2，3]	（3，4]	（4，5]	（5，6]
人數(shù)	3	17	30	30	17	3
頻率	0.03	0.17	0.30	0.3	0.17	0.3

（�。┛傮w數(shù)據(jù)的期望約為：μ=0.5×0.03+1.5×0.17+2.5×0.30+3.5×0.30+4.5×0.17+5.5×0.03=3.0
標(biāo)準(zhǔn)差σ=

(0.5-3)2×0.03+(1.5-3)2×0.17+(2.5-3)2×0.3+(3.5-3)2×0.3+

.

(4.5-3)2×0.17+(5.5-3)2×0.03

=

1.29

≈1.1
（ⅱ）由于μ=3，σ≈1.1∴x～N（3，（1.1）²），
∴當(dāng)x∈（1.9，4.1）時(shí)，即x∈（μ-σ，μ+σ ）
故數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力等級(jí)分?jǐn)?shù)在（1.9，4.1）范圍中的概率0.6826．
∴數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力等級(jí)在（1.9，4.1）范圍中的學(xué)生的人數(shù)約為10000×0.6826=6826人．
（Ⅲ）
（ⅰ）數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如下圖：

（ⅱ）設(shè)線性回歸方程為

y

=bx+a，則
方法一：b=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 x 2 i -n . x 2

=

91-80

90-80

=1.1 a=

.

y

-b

.

x

=4-1.1×4=-0.4
故回歸直線方程為y=1.1x-0.4
方法二：f（a，b）=（2b+a-1.5）²+（3b+a-3）²+（4b+a-3.5）²+（5b+a-5）²+（6b+a-6）²=5a²+40a（b-1）+（2b-1.5）²+（3b-3）²+（4a-3.5）²+（5b-5）²+（6b-6）²
∴a=-

40(b-1)

10

=4(1-b)時(shí)，
f（a，b）取得最小值10b²-22b+12.5 即，∴b=1.1，a=-0.4 時(shí)f（a，b）取得最小值；
所以線性回歸方程為y=1.1x-0.4．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，綜合考察了識(shí)圖能力，用樣本估計(jì)總體的數(shù)字特征，用樣本估計(jì)總體的分布，用樣本研究變量間的不確定關(guān)系的方法運(yùn)用