Question

（本小題滿分12分）在中，頂點(diǎn)，，、分別是的重心和內(nèi)心，且．

求頂點(diǎn)的軌跡的方程；

過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于、兩點(diǎn)，是直線上一點(diǎn)，設(shè)直線、、的斜率分別為，，，試比較與的大小，并加以證明．

Answer 1

(1) ；(2)

【解析】

試題分析：(1) 根據(jù)題中三角形內(nèi)心的含義可知：，又由條件：，可見(jiàn)I和G的縱坐標(biāo)相等，又,，代入化簡(jiǎn)得：，根據(jù)橢圓的定義得：頂點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，其中進(jìn)而其方程，不過(guò)要注意去掉頂點(diǎn)噢； (2) 根據(jù)題意可設(shè)出直線方程，進(jìn)而表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，不過(guò)要注意分斜率是否存在：當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線且，，，與橢圓聯(lián)立方程組，運(yùn)用韋達(dá)定理可得，.由題意：，，.化簡(jiǎn)得 ，即得結(jié)論：；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易得成立.

試題解析：(1) 已知，

且,，其中為內(nèi)切圓半徑，化簡(jiǎn)得：，

頂點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓（去掉長(zhǎng)軸端點(diǎn)），

其中

進(jìn)而其方程為. (5分)

(2) ，以下進(jìn)行證明：

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線且，，

聯(lián)立可得，. (8分)

由題意：，，.

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，

綜上可得. (12分)

考點(diǎn)：1.軌跡方程的求法；2.橢圓方程的求法；3.直線與圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)