Question

（本小題滿分12分）在中，頂點，，、分別是的重心和內心，且．

求頂點的軌跡的方程；

過點的直線交曲線于、兩點，是直線上一點，設直線、、的斜率分別為，，，試比較與的大小，并加以證明．

Answer 1

(1) ；(2)

【解析】

試題分析：(1) 根據題中三角形內心的含義可知：，又由條件：，可見I和G的縱坐標相等，又,，代入化簡得：，根據橢圓的定義得：頂點的軌跡是以為焦點，4為長軸長的橢圓，其中進而其方程，不過要注意去掉頂點噢； (2) 根據題意可設出直線方程，進而表示出點的坐標，不過要注意分斜率是否存在：當直線斜率存在時，設直線且，，，與橢圓聯(lián)立方程組，運用韋達定理可得，.由題意：，，.化簡得 ，即得結論：；當直線斜率不存在時，易得成立.

試題解析：(1) 已知，

且,，其中為內切圓半徑，化簡得：，

頂點的軌跡是以為焦點，長軸長為4的橢圓（去掉長軸端點），

其中

進而其方程為. (5分)

(2) ，以下進行證明：

當直線斜率存在時，設直線且，，

聯(lián)立可得，. (8分)

由題意：，，.

當直線斜率不存在時，，

綜上可得. (12分)

考點：1.軌跡方程的求法；2.橢圓方程的求法；3.直線與圓錐曲線的相關知識