Question

（本小題滿分12分）已知橢圓C：（a>b>0）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形．

（1）求橢圓C的標準方程．

（2）設F為橢圓C的左焦點，T為直線x＝－3上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q．

①證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標原點）；

②當最小時，求點T的坐標．

Answer 1

（1）；（2）①見解析；②（－3，1）或（－3，－1）．

【解析】

試題分析：（1）由已知可得：，解得 ，

∴橢圓C的標準方程為：．

（2）①證明：由（1）可得，F(xiàn)的坐標為（－2，0），設T點的坐標為（－3，m），

則直線TF的斜率．

當m≠0時，直線PQ的斜率．直線PQ的方程是x＝my－2．

當m＝0時，直線PQ的方程是x ＝－2，也符合x＝my－2的形式．

設P（），Q（），將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得，

消去x可得：，其判別式，

∴，

設M為PQ中點，則M點的坐標為，∴直線OM的斜率為，又直線OT的斜率，∴點M在直線OT上，因此OT平分線段PQ．

②由①可得，，

，

∴．

當且僅當，即m＝±1，等號成立，此時取得最小值．

故當最小時，T點的坐標是（－3，1）或（－3，－1）．

考點：橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，弦長公式

點評：利用橢圓的幾何性質，求橢圓的標準方程，解決直線與橢圓的位置關系，常應用設而不求的思路解決