Question

5．已知函數(shù)y=f（x），x∈[0，+∞），已知當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，f（x）=x²-4x，若對(duì)[0，+∞）內(nèi)任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x+4）=m•f（x）（m∈R，m≠0）成立，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，f（x）=x²-4x∈[-4，0]，結(jié)合函數(shù)的伸縮變換原則，對(duì)m進(jìn)行分類(lèi)討論，可得不同情況下函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：∵當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，f（x）=x²-4x∈[-4，0]，
∵對(duì)[0，+∞）內(nèi)任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x+4）=m•f（x），
故當(dāng)m∈（0，1]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-4，0]，
當(dāng)m∈（1，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，0]，
當(dāng)m∈（-∞，-1）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽；
m∈[-1，0）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-4，-4m]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)圖象的伸縮變換，熟練掌握函數(shù)的伸縮變換原則，是解答的關(guān)鍵．