Question

已知指數(shù)函數(shù)y=g（x）滿足：g（2）=4，定義域為R的函數(shù)f（x）=

-g(x)+a

2g(x)+b

是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調性并用定義加以證明；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的判斷與證明,函數(shù)單調性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：本題（1）利用直線過定點和函數(shù)為奇函數(shù)，得到關于參數(shù)的方程組，解方程組得到本題結論；（2）利用函數(shù)單調性的定義加以證明，得到本題結論；（3）利用函數(shù)的奇偶性和單調性，將原不等式轉化為相應自變量的比較，解不等式得到本題結論．

解答： 解：（1）設g（x）=m^x（m＞0，m≠1）
∵g（2）=4，
∴m²=4，
∴m=2，
∴g（x）=2^x．
∴f(x)=

-2x+a

2•2x+b

，
∵定義域為R的函數(shù)f（x）=

-g(x)+a

2g(x)+b

是奇函數(shù)，
∴

f(0)=0 f(-1)=-f(1)

，
∴

a=1 b=2

．
（2）函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)，下面證明．
證明：由（1）可知：f（x）=

-2x+1

2•2x+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則：f（x₁）-f（x₂）=（-

1

2

+

1

2x1+1

）-（-

1

2

+

1

2x2+1

）=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2 x2＞2x1，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）是R是上的單調遞減函數(shù)．
（3）∵f（2t²-2t）+f（2t²-k）＜0對于任意的t∈R恒成立，
∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k）．
∵定義域為R的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（t²-2t）＜f（k-2t²）．
∵函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)，
∴t²-2t＞k-2t²，
∴k＜3t²-2t=2(t-

1

3

)2-

1

3

對于任意的t∈R恒成立，
∴k＜-

1

3

．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調性，本題難度適中，屬于中檔題．