Question

若（x+m）²ⁿ⁺¹與（mx+1）2ⁿ（n∈N^*，m≠0）的展開式中含xⁿ的系數(shù)相等，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、（

  1

  2

  ，

  2

  3

  ]
• B、[

  2

  3

  ，1)
• C、（-∞，0）
• D、（0，+∞）

Answer 1

分析：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式分別求出兩個(gè)二項(xiàng)式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為n求出兩個(gè)二項(xiàng)式展開式中含xⁿ的系數(shù)，列出方程，利用組合數(shù)公式得到m，n的關(guān)系，將m用n表示，通過求函數(shù)的值域，求出m的范圍．

解答：解：（x+m）²ⁿ⁺¹的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=C_2n+1^rm^rx^2n+1-r
由2n+1-r=n得n=r-1得r=n+1
∴展開式中當(dāng)xⁿ的項(xiàng)的系數(shù)為C_2n+1ⁿ⁺¹mⁿ⁺¹①
又（mx+1）²ⁿ展開式的通項(xiàng)公式T_k+1=C_2n^k（mx）^2n-k=m^2n-kC_2n^kx^2n-k
由2n-k=n得n=k
∴這一展開式中含xⁿ的項(xiàng)的系數(shù)為mⁿC_2nⁿ②
∴由①，②得C_2n+1ⁿ⁺¹mⁿ⁺¹=mⁿC_2nⁿ
mC_2n+1ⁿ=C_2nⁿ
m

(2n+1)!

(n+1)!n!

=

(2n)!

n!n!

∴m=

n+1

2n+1

=

1

2

+

1

2(2n+1)

∴m＞

1

2

③
又m≤

1

2

+

1

2×3

∴m≤

2

3

④
于是由③，④得

1

2

＜m≤

2

3

，
故選項(xiàng)為A．

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題的工具；考查組合數(shù)公式．