Question

若（x+m）²ⁿ⁺¹與（mx+1）2ⁿ（n∈N^*，m≠0）的展開(kāi)式中含xⁿ的系數(shù)相等，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

1. A.
   （]
2. B.
   
3. C.
   （-∞，0）
4. D.
   （0，+∞）

Answer 1

A
分析：利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式分別求出兩個(gè)二項(xiàng)式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為n求出兩個(gè)二項(xiàng)式展開(kāi)式中含xⁿ的系數(shù)，列出方程，利用組合數(shù)公式得到m，n的關(guān)系，將m用n表示，通過(guò)求函數(shù)的值域，求出m的范圍．
解答：（x+m）²ⁿ⁺¹的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)_r+1=C_2n+1^rm^rx^2n+1-r
由2n+1-r=n得n=r-1得r=n+1
∴展開(kāi)式中當(dāng)xⁿ的項(xiàng)的系數(shù)為C_2n+1ⁿ⁺¹mⁿ⁺¹①
又（mx+1）²ⁿ展開(kāi)式的通項(xiàng)公式T_k+1=C_2n^k（mx）^2n-k=m^2n-kC_2n^kx^2n-k
由2n-k=n得n=k
∴這一展開(kāi)式中含xⁿ的項(xiàng)的系數(shù)為mⁿC_2nⁿ②
∴由①，②得C_2n+1ⁿ⁺¹mⁿ⁺¹=mⁿC_2nⁿ
mC_2n+1ⁿ=C_2nⁿ

∴=
∴m＞③
又m
∴④
于是由③，④得，
故選項(xiàng)為A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題的工具；考查組合數(shù)公式．