Question

【題目】建造一條防洪堤，其斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為，防洪堤高記為（如圖），考慮到防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素，設(shè)計(jì)其斷面面積為平方米，為了使堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省，則斷面的外周長(zhǎng)（）要最小．

（1）用表示、；

（2）將表示成的函數(shù)，如限制在范圍內(nèi)，最小為多少米？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)，；(2)，的最小值為.

【解析】

（1）在直角三角形中，利用正弦函數(shù)即可求得，再利用梯形的面積，求得.

（2）利用（1）中的結(jié)論，即可得到函數(shù)的解析式，再根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可求得函數(shù)的最小值.

（1）在直角三角形中，由，

可得，

設(shè)，故

由梯形的面積可得：

即

解得

綜上所述：，.

（2）因?yàn)?/span>

故可得

下證：函數(shù)在是單調(diào)遞增函數(shù).

任取

則

因?yàn)?/span>，故；又，故，則

故，即，

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>，函數(shù)單調(diào)遞增，

故.