Question

已知定義在[-2，2]上的奇函數(shù)f（x）滿足：當x∈（0，2]時，f（x）=x（x-2）．
（1）求f（x）的解析式和值域；
（2）設(shè)g（x）=ln（x+2）-ax-2a，其中常數(shù)a＞0．
①試指出函數(shù)F（x）=g（f（x））的零點個數(shù)；
②若當1+

1

k

是函數(shù)F（x）=g（f（x））的一個零點時，相應的常數(shù)a記為a_k，其中k=1，2，…，n．
證明：a₁+a₂+…+a_n＜

7

6

（n∈N^*）．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：導數(shù)的綜合應用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由奇函數(shù)性質(zhì)得f（0）=0，當x∈[-2，0）時，f（x）=-f（-x）=-（-x）（-x-2）=-x（x+2），由此能求出f（x）的解析式和值域．
（2）①當t=0時，方程f（x）=t有三個實根，當t=1或t=-1時，方程f（x）=t只有一個實根，當t∈（0，1）或t∈（-1，0）時，方程f（x）=t有兩個實根．設(shè)h（x）=

ln(x+2)

x+2

，x∈[-1，1]，h（-1）=0，h′(x)=

1-ln(x+2)

(x+2)2

，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)F（x）=g（f（x））的零點個數(shù)．
②由已知得g（f（1+

1

k

））=0，g（f（1+

1

k

））=g（

1

k2

-1）=ln（

1

k2

+1-a_k（

1

k2

+1）=0，從而ak=

ln( 1 k2 +1)

1 k2 +1

，記m（x）=ln（x+1）-x，m′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，由此利用導數(shù)性質(zhì)能證明a₁+a₂+…+a_n＜

7

6

（n∈N^*）．

解答： （1）解：∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（0）=0．
當x∈[-2，0）時，-x∈（0，2]，則f（x）=-f（-x）=-（-x）（-x-2）=-x（x+2），
∴f（x）=

x(x-2)，x∈[0，2] -x(x+2)，x∈[-2，0)

．
∵x∈[0，2]時，f（x）∈[-1，0]，x∈[-2，0），f（x）∈[0，1]，
∴f（x）的值域為[-1，1]．

（2）①解：函數(shù)f（x）的圖象如圖a所示，當t=0時，方程f（x）=t有三個實根，
當t=1或t=-1時，方程f（x）=t只有一個實根，
當t∈（0，1）或t∈（-1，0）時，方程f（x）=t有兩個實根．
由g（x）=0，解得a=

ln(x+2)

x+2

，
∵f（x）的值域為[-1，1]，
∴只需研究函數(shù)y=

ln(x+2)

x+2

在[-1，1]上的圖象特征．
設(shè)h（x）=

ln(x+2)

x+2

，x∈[-1，1]，h（-1）=0，
h′(x)=

1-ln(x+2)

(x+2)2

，
令h′（x）=0，得x=e-2∈（0，1），h（e-2）=

1

e

．
∵當-1＜x＜e-2時，h′（x）＞0，當e-2＜x＜1時，h′（x）＜0，
又∵ln2³＜ln3²，即

ln2

2

＜

ln3

3

，
由h（0）=

ln2

2

，h（1）=

ln3

3

，得h（0）＜h（1），
∴h（x）的大致圖象如圖b所示．
根據(jù)圖象b可知，當0＜a＜

ln2

2

、

ln2

2

＜a＜

ln3

3

、a=

1

e

時，
直線y=a與函數(shù)y=h（x）的圖象僅有一個交點，
則函數(shù)g（x）在[-1，1]上僅有一個零點，記零點為t，
則t分別在區(qū)間（-1，0）、（0，1）上，根據(jù)圖象a，
方程f（x）=t有兩個交點，
因此函數(shù)F（x）=g（f（x））有兩個零點．
類似地，當a=

ln2

2

時，函數(shù)g（x）在[-1，1]上僅有零點0，
因此函數(shù)F（x）有-1、0、1這三個零點．
當a=

ln3

3

時，函數(shù)g（x）在[-1，1]上有兩個零點，一個零點是1，
另一個零點在（0，1）內(nèi)，因此函數(shù)Y（x）有三個零點．
當

ln3

3

＜a＜

1

e

時，函數(shù)g（x）在[-1，1]上有兩個零點，
且這兩個零點均在（0，1）內(nèi)，因此函數(shù)F（x）有四個零點．
當a＞

1

e

時，函數(shù)g（x）在[-1，1]上沒有零點，因此函數(shù)F（x）沒有零點．  
②證明：∵1+

1

k

是函數(shù)F（x）=g（f（x））的一個零點，
∴有g(shù)（f（1+

1

k

））=0，∵1+

1

k

∈（0，2），∴f（1+

1

k

）=

1

k2

-1，
∴g（f（1+

1

k

））=g（

1

k2

-1）=ln（

1

k2

+1-a_k（

1

k2

+1）=0，
∴ak=

ln( 1 k2 +1)

1 k2 +1

，k=1，2，…，n．
記m（x）=ln（x+1）-x，m′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，
∵當x∈（0，1]時，m′（x）＜0，
∴當x∈（0，1]時，m（x）＜m（0）=0，即ln（x+1）＜x．
故有l(wèi)n（

1

k2

+1）＜

1

k2

，則ak=

ln( 1 k2 +1)

1 k2 +1

＜

1 k2

1 k2 +1

=

1

k2+1

，k=1，2，…，n． 
當n=1時，a₁＜

1

2

＜

7

6

．
當n≥2時，∵

1

k2+1

＜

1

k2- 1 4

=

2

2k-1

-

2

2k+1

，
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n＜

1

12+1

+

1

22+1

+

1

32+1

+…+

1

n2+1

＜

1

2

+(

2

3

-

2

5

)+(

2

5

-

2

7

)+…+(

2

2n-1

-

2

2n+1

)
=

1

2

+

2

3

-

2

2n+1

=

7

6

-

2

2n+1

＜

7

6

．
綜上，有a₁+a₂+…+a_n＜

7

6

（n∈N^*）．

點評：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、分段函數(shù)、導數(shù)應用、一元二次方程的求解、連續(xù)函數(shù)的零點存在性定理，放縮法證明數(shù)列不等式，考查學生數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學思想，以及計算推理能力及分析問題、解決問題的能力及創(chuàng)新意識．