已知函數(shù)f（x）=2aln（1+x）-x（a＞0）．
（I）求f（x）的單調區(qū)間和極值；
（II）求證：（n∈N*）．
【答案】分析：（I）先求函數(shù)的定義域，然后求出函數(shù)的導函數(shù)，再討論導數(shù)的正負，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和
fˊ（x）＜0，即可求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而得出函數(shù)的極值；
（II）利用對數(shù)的運算性質將欲證不等式進行變形，即證
對函數(shù)f（x）令，由（I）可知f（x）在（0，+∞）上遞減，故f（x）＜f（0）=0，即可得ln（1+x）＜x，最后令，取n=1、2、3…、n，將所得的不等式累加即可得出要證的不等式成立．
解答：解：（I）定義域為（-1，+∞）
令f'（x）＞0⇒-1＜x＜2a-1，令f'（x）＜0⇒x＞2a-1
故f（x）的單調遞增區(qū)間為（-1，2a-1）
f（x）的單調遞減區(qū)間為（2a-1，+∞）
f（x）的極大值為2aln2a-2a+1
（II）證：要證
即證
即證
即證
令，由（I）可知f（x）在（0，+∞）上遞減
故f（x）＜f（0）=0
即ln（1+x）＜x
令
故
累加得，

故，得證
點評：本題主要考查了導數(shù)與不等式兩方面的知識，考查運算求解能力、推理論證能力、化歸與轉化思想，屬于中檔題．
（I）考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，以及研究函數(shù)單調區(qū)間等有關基礎知識；
（II）考查了運用不等式的性質進行等價變形，將（I）中的函數(shù)結論巧妙運用到不等式當中，從而達到證明的目的．
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f（x）=2-
1
x
，（x＞0），若存在實數(shù)a，b（a＜b），使y=f（x）的定義域為（a，b）時，值域為（ma，mb），則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

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（2）如果函數(shù)的一個零點在原點，求m的值．

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（2013•上海）已知函數(shù)f（x）=2-|x|，無窮數(shù)列{an}滿足an+1=f（an），n∈N*
（1）若a1=0，求a2，a3，a4；
（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比數(shù)列，求a1的值
（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a1，若不存在，說明理由．

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選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=2|x-2|-x+5，若函數(shù)f（x）的最小值為m
（Ⅰ）求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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