12．已知f（x）=（3a-1）x+b-a，x∈[0，1]，若f（x）≤1恒成立，則a+b的最大值為$\frac{5}{3}$．

分析 討論一次函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）的最大值，由不等式恒成立思想和不等式的性質(zhì)，可得a+b的最大值．

解答 解：當(dāng)3a-1≥0即a≥$\frac{1}{3}$，即有f（x）的最大值為b+2a-1，
由題意可得b+2a-1≤1，則b+a≤2-a≤2-$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{3}$；
當(dāng)3a-1＜0，即a＜$\frac{1}{3}$時，即有f（x）的最大值為b-a，
由題意可得b-a≤1，即b≤1+a＜$\frac{4}{3}$，則b+a＜$\frac{5}{3}$．
則b+a的最大值為$\frac{5}{3}$．
故答案為：$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，同時考查一次函數(shù)的單調(diào)性的運用，以及不等式的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．

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