Question

20．已知|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，則$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$上的正射影的數(shù)量為3．

Answer 1

分析 根據(jù)|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，算出|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|及（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$的值．再設(shè)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$的夾角為θ，結(jié)合數(shù)量積公式和向量投影的定義，即可得到向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$上的正射影的數(shù)量值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow$|×cos60°=2，
由此可得（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²=|$\overrightarrow{a}$|²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+|$\overrightarrow$|²=4+4+4=12，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2$\sqrt{3}$．
設(shè)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$的夾角為θ，
∵（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=|$\overrightarrow{a}$|²+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=6，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{6}{2\sqrt{3}•2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$上的正射影的數(shù)量為|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|cosθ=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了向量數(shù)量積的定義、向量的夾角公式和向量投影的概念等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．