Question

6．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為{S_n}．滿足a²_n+1=2S_n+n+4，a₂-1，a₃，a₇恰為等比數(shù)列{b_n}的前3項．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若C_n=（-1）ⁿlog₂b_n-$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得n≥2時，a²_n=2S_n-1+n-1+4，與已知相減得${{a}_{n+1}}^{2}={{a}_{n}}^{2}+2{a}_{n}+1$=（a_n+1）²，由$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}={a}_{1}+1}\\{{{a}_{2}}^{2}=2{a}_{1}+1+4}\end{array}\right.$，解得a₁=2，再結(jié)合a₂-1，a₃，a₇恰為等比數(shù)列{b_n}的前3項，能求出數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式．
（2）由c_n=（-1）ⁿlog₂b_n-$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=（-1）ⁿ•n-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=（-1）ⁿ•n-（$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$），利用分組求和法和裂項求和法能求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）∵各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為{S_n}，滿足a²_n+1=2S_n+n+4，①
∴n≥2時，a²_n=2S_n-1+n-1+4，②
①-②，得：${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}$=2a_n+1，
∴${{a}_{n+1}}^{2}={{a}_{n}}^{2}+2{a}_{n}+1$=（a_n+1）²，
∵a_n＞0，∴a_n+1=a_n+1，
∴數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，
又$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}={a}_{1}+1}\\{{{a}_{2}}^{2}=2{a}_{1}+1+4}\end{array}\right.$，解得a₁=2或a₁=-2（舍），
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1．
∵a₂-1，a₃，a₇恰為等比數(shù)列{b_n}的前3項，
∴b₁=2+1-1=2，b₂=a₃=3+1=4，b₃=a₇=7+1=8，
∴q=$\frac{_{2}}{_{1}}$=$\frac{4}{2}=2$，
∴$_{n}=2×{2}^{n-1}$=2ⁿ．
（2）c_n=（-1）ⁿlog₂b_n-$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=（-1）ⁿ•n-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=（-1）ⁿ•n-（$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$），
當(dāng)n為偶數(shù)時，
T_n=（-1+2-3+4-5+…+n）-（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{2}+\frac{1}{n+2}$，
當(dāng)n為奇數(shù)時，
T_n=（-1+2-3+4-5+…-n）-（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{n-1}{2}-n$-$\frac{1}{2}+\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{n+2}-\frac{1}{2}-\frac{n+1}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)和分組求和法及裂項求和法的合理運用．