Question

【題目】數(shù)列{an}中，若存在ak ， 使得“ak＞ak﹣1且ak＞ak+1”成立（其中k≥2，k∈N*），則稱ak為{an}的一個H值．現(xiàn)有如下數(shù)列：①an=1﹣2n；②an=sinn；③an= ④an=lnn﹣n，則存在H值的數(shù)列有（ ）個．
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由新定義可知，若數(shù)列{an}有H值，則數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列，且存在k（k≥2，k∈N*），使得“ak＞ak﹣1且ak＞ak+1”成立． 對于①an=1﹣2n，該數(shù)列為遞減數(shù)列，不合題意；
對于②an=sinn，取k=2，則sin2＞sin1，且sin2＞sin3，數(shù)列存在H值；
對于③an= ，令f（x）= ，f′（x）= ，由f′（x）=0，得x=3．
當(dāng)x＜3時，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)x＞3時，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)，∴x=3時函數(shù)取得極大值，也就是最大值，
則對于數(shù)列an= ，有a3＞a2 ， 且a3＞a4 ， 數(shù)列存在H值；
對于④an=lnn﹣n，令g（x）=lnx﹣x，g′（x）= ，當(dāng)x≥1時，g′（x）≤0，數(shù)列為遞減數(shù)列，不合題意．
∴存在H值的數(shù)列有2個．
故選：B．
【考點精析】本題主要考查了命題的真假判斷與應(yīng)用的相關(guān)知識點，需要掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系才能正確解答此題．