已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，過點P（4，0）且不垂直于x軸直線與橢圓C相交于A、B兩點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）求的取值范圍；
（3）若B點關于x軸的對稱點是E，證明：直線AE與x軸相交于定點.

（1）；（2）；（3）證明過程詳見解析.

解析試題分析：本題考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程等基礎知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質以及數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，利用離心率及解出和得到橢圓的標準方程；第二問，先設出直線的方程，因為直線與橢圓相交，消參得關于的方程，因為相交于2個交點，所以得到的取值范圍，設出點坐標，則求出兩根之和、兩根之積及，所以，將上述的條件代入，得到的表達式，求最值；第三問，先通過對稱，得到點的坐標，列出直線的方程，令，得的值正好得1，所以得證.
試題解析：(1)解：由題意知，∴，即，
又，∴，
故橢圓的方程為 .    2分
(2)解：由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為，
由得：，      4分
由得：，
設A(x1，y1)，B (x2，y2)，則　　①
∴，
∴
∵，∴，∴，
∴的取值范圍是.
（3）∵兩點關于軸對稱，∴，
直線的方程為，令得：
又，，∴，
由將①代入得：，∴直線與軸交于定點.
考點：1.橢圓的標準方程；2.橢圓的離心率；3.直線與橢圓的位置關系；4.兩根之和、兩根之積.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，在橢圓C上，A，B為橢圓C的左、右頂點．
(1)求橢圓C的方程：
(2)若P是橢圓上異于A，B的動點，連結AP，PB并延長，分別與右準線相交于M1，M2.問是否存在x軸上定點D，使得以M1M2為直徑的圓恒過點D?若存在，求點D的坐標：若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在坐標原點，短軸長為4，且有一個焦點與拋物線的焦點重合．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知經(jīng)過定點M（2,0）且斜率不為0的直線交橢圓C于A、B兩點，試問在x軸上是否另存在一個定點P使得始終平分？若存在求出點坐標；若不存在請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心為直角坐標系的原點，焦點在軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1．
（1）求橢圓的方程；
（2）若為橢圓的動點，為過且垂直于軸的直線上的點，（為橢圓的離心率），求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在直角坐標系中，已知中心在原點，離心率為的橢圓E的一個焦點為圓的圓心.
⑴求橢圓E的方程；
⑵設P是橢圓E上一點，過P作兩條斜率之積為的直線，當直線都與圓相切時，求P點坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線y2=－x與直線y=k(x+1)交于A、B兩點.
（1）求證：OA⊥OB；
（2）當DAOB的面積等于時，求k的值. 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知曲線，求曲線過點的切線方程。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知動圓經(jīng)過點，且和直線相切，
（1）求動圓圓心的軌跡C的方程；
（2）已知曲線C上一點M，且5，求M點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左右焦點分別是，離心率，為橢圓上任一點，且的最大面積為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設斜率為的直線交橢圓于兩點，且以為直徑的圓恒過原點，若實數(shù)滿足條件，求的最大值.

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