Question

（理科）某中學(xué)有5名體育類考生要到某大學(xué)參加體育專業(yè)測試，學(xué)校指派一名教師帶隊(duì)，已知每位考生測試合格的概率都是

2

3

，（1）若他們乘坐的汽車恰好有前后兩排各3個(gè)座位，求體育教師不坐后排的概率；
（2）若5人中恰有r人合格的概率為

80

243

，求r的值；
（3）記測試合格的人數(shù)為ξ，求ξ的期望和方差．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：老師進(jìn)行選擇時(shí)共有6種不同的選法，體育教師不坐后排的不同選法有C₃¹=3種，進(jìn)而得到答案．
（2）每位考生測試合格的概率P=

2

3

，測試不合格的概率為1-P=

1

3

，則得到P5(r)=C5rPr(1-P)5-r=

80

243

，再解方程可得答案．
（3）由題意可得：ξ～B(5，

2

3

)，進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)分布的有關(guān)公式可得答案．

解答：解：（1）由題意可得：老師進(jìn)行選擇時(shí)共有6種不同的選法，體育教師不坐后排的不同選法有C₃¹=3種，
記“體育教師不坐后排”為事件A，則P(A)=

C31

C61

=

1

2

．-----（4分）
（2）每位考生測試合格的概率P=

2

3

，測試不合格的概率為1-P=

1

3

則P5(r)=C5rPr(1-P)5-r=

80

243

，即C5r(

2

3

)r(

1

3

)5-r=

C5r2r

35

=

80

243

，
∴C₅^r2^r=80，解得：r=3，4．
（3）由題意可得：ξ～B(5，

2

3

)，
∴Eξ=5×

2

3

=

10

3

，Dξ=5×

2

3

×

1

3

=

10

9

----（12分）

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等可能事件的概率與獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，以及二項(xiàng)分布計(jì)算期望與方程的公式，即Eξ=np，Dξ=np（1-p），此題屬于基礎(chǔ)題．