Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點，A₁A=AB=2，BC=3．
（1）求證：AB₁∥平面BC₁D；
（2）求四棱錐B-AA₁C₁D的體積．

Answer 1

分析：（1）欲證AB₁∥平面BC₁D，根據(jù)線面平行的判定定理可知只需證AB₁與平面BC₁D內(nèi)一直線平行，連接B₁C，設(shè)B₁C與BC₁相交于點O，連接OD，根據(jù)中位線定理可知OD∥AB₁，OD?平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D，滿足定理所需條件；
（2）根據(jù)面面垂直的判定定理可知平面ABC⊥平面AA₁C₁C，作BE⊥AC，垂足為E，則BE⊥平面AA₁C₁C，然后求出棱長，最后根據(jù)四棱錐B-AA₁C₁D的體積V=

1

3

×

1

2

(A1C1+AD)•AA1•BE求出四棱錐B-AA₁C₁D的體積即可．

解答：解：
（1）證明：連接B₁C，設(shè)B₁C與BC₁相交于點O，連接OD，
∵四邊形BCC₁B₁是平行四邊形，
∴點O為B₁C的中點．
∵D為AC的中點，
∴OD為△AB₁C的中位線，
∴OD∥AB₁．（3分）
∵OD?平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D．（6分）
（2）∵AA₁⊥平面ABC，AA₁?平面AA₁C₁C，
∴平面ABC⊥平面AA₁C₁C，且平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC．
作BE⊥AC，垂足為E，則BE⊥平面AA₁C₁C，（8分）
∵AB=BB₁=2，BC=3，
在Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=

4+9

=

13

，BE=

AB•BC

AC

=

6

13

，（10分）
∴四棱錐B-AA₁C₁D的體積V=

1

3

×

1

2

(A1C1+AD)•AA1•BE（12分）=

1

6

×

3

2

13

×2×

6

13

=3．
∴四棱錐B-AA₁C₁D的體積為3．（14分）

點評：本題主要考查了線面平行的判定定理，以及棱錐的體積的度量，同時考查了空間想象能力，計算能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于基礎(chǔ)題．