Question

已知點O為坐標(biāo)原點，圓C過點（1，1），（-2，4）且圓心在y軸．
（Ⅰ）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）如果過點P（1，0）的直線l與圓C交于A，B兩點，且|AB|=2

3

，試求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出（1，1）與（-2，4）確定直線的方程斜率，以及線段中點坐標(biāo)，求出線段垂直平分線方程與y軸交點即為圓心C坐標(biāo)，進而確定出半徑，寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（Ⅱ）設(shè)過P直線方程為y=k（x-1），利用點到直線的距離公式表示出圓心C到直線的距離d，根據(jù)弦長，利用垂徑定理及勾股定理列出方程，求出方程的解得到k的值，即可確定出直線l方程．

解答：解：（Ⅰ）過（1，1），（-2，4）的直線方程的斜率為

4-1

-2-1

=-1，線段中點坐標(biāo)為（-

1

2

，

5

2

），
∴線段垂直平分線方程為y-

5

2

=x+

1

2

，
令x=0，得到y(tǒng)=3，即圓心C（0，3），
∴半徑r=

(1-0)2+(1-3)2

=

5

，
則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+（y-3）²=5；
（Ⅱ）設(shè)過P直線方程為y=k（x-1），即kx-y-k=0，
∵圓心C到直線的距離d=

|-3-k|

k2+1

，|AB|=2

3

，
∴|AB|=2

r2-d2

，即5-

(k+3)2

k2+1

=3，
解得：k=7或k=-1，
則直線l方程為7x-y-7=0或x+y-1=0．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及的知識有：兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，直線的點斜式方程，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．