Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓 的左焦點(diǎn)為F，離心率為 ，過(guò)點(diǎn)F且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為 ．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A，B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)P（﹣2，0）的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)M，N．
（i）求證：∠AFM=∠BFN；
（ii）求△MNF面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（I）由題意可得 ，

令x=﹣c，可得y=±b =± ，

即有 ，又a2﹣b2=c2，

所以 ．

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；

（II）方法一、（i）當(dāng)AB的斜率為0時(shí)，顯然∠AFM=∠BFN=0，滿足題意；

當(dāng)AB的斜率不為0時(shí)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程為x=my﹣2，

代入橢圓方程，整理得（m2+2）y2﹣4my+2=0，

則△=16m2﹣8（m2+2）=8m2﹣16＞0，所以m2＞2．

，

可得 =

= ．

則kMF+kNF=0，即∠AFM=∠BFN；

（ii）

當(dāng)且僅當(dāng) ，即m2=6．（此時(shí)適合△＞0的條件）取得等號(hào)．

則三角形MNF面積的最大值是 ．

方法二（i）由題知，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x+2），

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

聯(lián)立 ，整理得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣2=0，

則△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）=8﹣16k2＞0，所以 ．

，

可得

=

∴kMF+kNF=0，即∠AFM=∠BFN；

（ii） ，

點(diǎn)F（﹣1，0）到直線MN的距離為 ，

即有 = = ．

令t=1+2k2，則t∈[1，2），u（t）= ，

當(dāng)且僅當(dāng) ，即 （此時(shí)適合△＞0的條件）時(shí)， ，

即 ，則三角形MNF面積的最大值是 ．

【解析】（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)，結(jié)合a，b，c的關(guān)系解得a，b，可得橢圓的方程；（II）方法一、（i）討論直線AB的斜率為0和不為0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程為x=my﹣2，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，運(yùn)用直線的斜率公式求斜率之和，即可得證；（ii）求得△MNF的面積 ，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用基本不等式可得最大值．方法二、（i）由題知，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x+2），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立橢圓方程，消去y，可得x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，再由直線的斜率公式，求得即可得證；（ii）求得弦長(zhǎng)|MN|，點(diǎn)F到直線的距離d，運(yùn)用三角形的面積公式，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用換元法和基本不等式，即可得到所求最大值．