Question

已知函數(shù)f(x)=

x2+m

x

經(jīng)過點（1，5）
（1）求m的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）證明函數(shù)f（x）在[2，+∞）是增函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運用代入法，解方程，即可得到m；
（2）求出定義域，再計算f（-x），與f（x）比較，再由奇偶性定義，即可判斷；
（3）運用單調(diào)性的定義，注意作差、變形、定符號、下結(jié)論等步驟．

解答： （1）解：由于f（1）=5，則1+m=5，即有m=4；
（2）解：f（x）=

x2+4

x

，定義域為{x|x≠0且x∈R}關(guān)于原點對稱，
f（-x）=

x2+4

-x

=-f（x），則f（x）為奇函數(shù)；
（3）證明：設(shè)2≤m＜n，則f（m）-f（n）=

m2+4

m

-

n2+4

n

=

(m-n)(mn-4)

mn

，
由于2≤m＜n，則m-n＜0，mn＞4，即mn-4＞0，
則f（m）-f（n）＜0，即有f（m）＜f（n），
故函數(shù)f（x）在[2，+∞）是增函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，以及函數(shù)的奇偶性的判斷，注意運用定義，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．