Question

已知f（x）是偶函數(shù)，x∈R，若將f（x）的圖象向右平移一個(gè)單位又得到一個(gè)奇函數(shù)，若f（2）=-1，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）=（ ）
A．-1003
B．1003
C．1
D．-1

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)將f（x）的圖象向右平移一個(gè)單位得到一個(gè)奇函數(shù)，即f（x-1）是奇函數(shù)，跟據(jù)f（x）是偶函數(shù)，得到f（（x-1）+4）=f（x-1），求出函數(shù)f（x）周期為4，要求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）的值，即要求501（f（1）+f（2）+f（3）+f（4））+f（1）+f（2）的值，而由函數(shù)f（x）是R上的0偶函數(shù)，以及f（x-1）是奇函數(shù)，令x=0，1可求得（1）、f（0）、f（3）的值．從而求得結(jié)論．
解答：解：∵將f（x）的圖象向右平移一個(gè)單位得到一個(gè)奇函數(shù)，
即f（x-1）是奇函數(shù)，∴f（-x-1）=-f（x-1），
又f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x-1）=f（x+1），
∴f（x+1））=-f（x-1），
∴f（（x-1）+4）=-f（（x-1）+2）=f（x-1），可得f（x+4）=f（x），
∴函數(shù)f（x）的周期為4，
∵平移前f（x）是偶函數(shù)，f（x-1）是奇函數(shù)，x∈R，∴f（-1）=f（1）=f（3）=0，
f（0）=-f（-2）=-f（2）=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）=501（f（1）+f（2）+f（3）+f（4））+f（1）+f（2）=-1，
故選D．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．考查函數(shù)的周期性和奇偶性，是道綜合題，其中探討函數(shù)的周期性是難點(diǎn)．