Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（-1，2），B（0，x+2），C（x+2tanθ-1，y+1）共線，其中．
（1）將x表示為y的函數(shù)，并求出函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=f（x）；
（2）若y=f（x）在[-1，]上是單調(diào)函數(shù)，求θ的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵A（-1，2），B（0，x+2），C（x+2tanθ-1，y+1）
∴=（1，x），=（x+2tanθ，y+1）
∵A，B，C三點(diǎn)共線，
∴x（x+2tanθ）-（y+1）=0
即y=f（x）=x²+2xtanθ-1
∴f（x）=x²+2xtanθ-1
（2）∵f（x）=x²+2xtanθ-1=（x+tanθ）²-tan²θ-1
又y=f（x）在[-1，]上是單調(diào)函數(shù)
∴-tanθ≥或-tanθ≤-1即tanθ≤-或tanθ≥1
∵θ∈（），
∴θ∈（]∪[）
∴θ的取值范圍是（]∪[）
分析：（1）由題意，欲求函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=f（x），可由A（-1，2），B（0，x+2），C（x+2tanθ-1，y+3）三點(diǎn)共線建立方程，得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）由（1）y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是一個二次函數(shù)，由于其在[-1，]上是單調(diào)函數(shù)，可知此區(qū)間一定在函數(shù)對稱軸的一側(cè)，由此關(guān)系轉(zhuǎn)化出關(guān)于θ的三角不等式，解出θ的取值范圍
點(diǎn)評：本題考查平面向量的綜合運(yùn)用，是向量與函數(shù)相結(jié)合的一個題，第一小題解題的關(guān)鍵是理解三點(diǎn)共線，由三點(diǎn)共線得出x與y關(guān)系的方程，整理出函數(shù)表達(dá)式；第二小題是一個考查二次函數(shù)性質(zhì)的題，理解二次函數(shù)的單調(diào)性，將單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式是解題的關(guān)鍵，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，方程的思想，涉及到了向量的共線條件，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角不等式的解法，是一道綜合性較強(qiáng)的題