Question

已知函數(shù)在點處的切線的斜率為．

（Ⅰ）求實數(shù)的值；

（Ⅱ）證明：函數(shù)的圖象恒在直線的下方（點除外）；

（Ⅲ）設(shè)點，當時，直線的斜率恒大于，試求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）因為，又因為函數(shù)在點處的切線斜率為，所以，所以；                  

（Ⅱ）因為，所以，所以的方程為：，

令，

則，又因為，         

所以當時，；當時，，

所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減， 

所以當時，取得最大值，

所以，所以，

即函數(shù)的圖象恒在其切線的下方（切點除外）；

（Ⅲ）因為，所以當時，，

即，.                                                   

令，

所以在單調(diào)遞增，
所以在恒成立，

所以在恒成立，所以.