已知f（x）=
3+x
1+x2
，0≤x≤3
f(3)  ，x＞3
，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=0恰有一個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．
分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，求出f'（x）=0的兩個根，然后比較大小，確定a的范圍，最后根據(jù)f'（x）＞0的解集為增區(qū)間，f'（x）＜0的解集為減區(qū)間；
（2）先把關(guān)于x的方程f（x）-a=0只有一個解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=a的圖象只有一個交點，再利用函數(shù)y=f（x）的最大值，看函數(shù)y=a的圖象滿足什么條件時符合要求即可求出對應(yīng)實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）當(dāng)x＞3時，f（x）=f（3）是常數(shù)，不是單調(diào)函數(shù)；
當(dāng)0≤x≤3時，f（x）=
3+x
1+x2
，求導(dǎo)，得f′（x）=-
x2+6x-1
(1+x2)2
，
由f′（x）＞0得，0＜x＜
10
-3，
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，
10
-3），f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（
10
-3，3）．
（2）由（1）知，f（0）=3，f（x）最大值=f（
10
-3）=
10
+3
2
，f（3）=
3
5
，
方程f（x）=0恰有一個實數(shù)解，
等價于直線y=a與曲線y=f（x）恰有一個公共點，
∴a=
10
+3
2
或
3
5
＜a＜3．
點評：本試題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)與方程的思想，解決關(guān)于方程有實數(shù)解的問題的轉(zhuǎn)化與化歸能力．運用導(dǎo)數(shù)來判定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，是我們對于超越函數(shù)的一般的研究方法，考查了同學(xué)們的基礎(chǔ)知識，基本技能和思維能力的綜合性．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=x2+bx+c為偶函數(shù)，曲線y=f（x）過點（2，5），g（x）=（x+m）f（x）．若曲線y=g（x）有斜率為0的切線，則實數(shù)m的取值范圍為
（-∞，-
3
]∪[
3
，+∞），
（-∞，-
3
]∪[
3
，+∞），
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f 1(x)=|3x-1|，f2(x)=|a•3x-9|(a＞0)，x∈R，且f（x）=
f1(x)，f1(x)≤f2(x)
f2(x)，f1(x)＞f2(x)

（1）當(dāng)a=1時，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，若方程f（x）-m=0有4個不等的實根，求實數(shù)m的范圍；
（3）當(dāng)2≤a＜9時，設(shè)f（x）=f2（x）所對應(yīng)的自變量取值區(qū)間的長度為l（閉區(qū)間[m，n]的長度定義為n-m），試求l的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知f（x）是一次函數(shù)，且f（f（x））=4x+3，求f（x）的解析式；
（2）已知f（
x
+1）=x+2
x
，求f（x）；
（3）已知f（x）滿足2f（x）+f(
1
x
)=3x，求f（x）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=cos(
π
3
+x)cos(
π
3
-x)，g(x)=
1
2
sin2x-
1
4
．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[0，
π
2
]時，求函數(shù)h（x）的最大值與最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•重慶三模）已知f（x）是個一元三次函數(shù)，且滿足
lim
x→1
f(x)
x-1
=4，
lim
x→2
f(x)
x-2
=-2，若函數(shù)F（x）=
f(x)
x-3
(x≠3)
a       (x=3)
在R上處處連續(xù)，則實數(shù)a的值為
4
4
．

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