Question

已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

2

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期T；
（2）若△ABC的三邊a，b，c滿足b²=ac，且邊b所對(duì)角為B，試求cosB的取值范圍，并確定此時(shí)f（B）的最大值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)兩角和與差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由最小正周期T=

2π

|ω|

可得到答案．
（2）先根據(jù)余弦定理表示出cosB，再將b²=ac代入運(yùn)用基本不等式的內(nèi)容可確定cosB的范圍，進(jìn)入可確定B的范圍，然后將B代入函數(shù)f（x）中，根據(jù)B的范圍求出f（B）的最大值．

解答：解：（1）f（x）=2cosx•sin（x+

π

3

）-

3

2

=2cosx（sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

）-

3

2

=2cosx（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

2

=sinxcosx+

3

•cos²x-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

•

1+cos2x

2

-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x
=sin（2x+

π

3

）．
∴T=

2π

|ω|

=

2π

2

=π．
（2）由余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

得，cosB=

a2+c2-ac

2ac

=

a2+c2

2ac

-

1

2

≥

2ac

2ac

-

1

2

=

1

2

，∴

1

2

≤cosB＜1，
而0＜B＜π，∴0＜B≤

π

3

．函數(shù)f（B）=sin（2B+

π

3

），
∵

π

3

＜2B+

π

3

≤π，當(dāng)2B+

π

3

=

π

2

，
即B=

π

12

時(shí)，f（B）_max=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用和余弦定理的表達(dá)式的應(yīng)用．考查基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用．三角函數(shù)的內(nèi)容公式比較多，不容易記，一定要強(qiáng)化記憶并能熟練應(yīng)用．