Question

如圖所示，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)等于右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其縱坐標(biāo)等于短半軸長(zhǎng)的

2

3

，求橢圓的離心率．

Answer 1

分析：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸、半焦距長(zhǎng)分別為a、b、c，可得M（c，

2

3

b），利用勾股定理與橢圓的定義建立關(guān)于a、b、c的等式，化簡(jiǎn)整理得b=

2

3

a，從而得出c=

a2-b2

=

5

3

a，即可算出該橢圓的離心率．

解答：解：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸、半焦距長(zhǎng)分別為a、b、c，
可得焦點(diǎn)為F₁（-c，0）、F₂（c，0），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（c，

2

3

b），
∵Rt△MF₁F₂中，F(xiàn)₁F₂⊥MF₂，
∴|F₁F₂|²+|MF₂|²=|MF₁|²，即4c²+

4

9

b²=|MF₁|²，
根據(jù)橢圓的定義得|MF₁|+|MF₂|=2a，
可得|MF₁|²=（2a-|MF₂|）²=（2a-

2

3

b）²，
∴（2a-

2

3

b）²=4c²+

4

9

b²，整理得4c²=4a²-

8

3

ab，
可得3（a²-c²）=2ab，所以3b²=2ab，解得b=

2

3

a，
∴c=

a2-b2

=

5

3

a，
因此可得e=

c

a

=

5

3

，
即該橢圓的離心率等于

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題已知橢圓滿足的條件，求橢圓的離心率的大�。�著重考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，考查了勾股定理的應(yīng)用，屬于中檔題．