Question

已知動點P與雙曲線的兩個焦點F₁、F₂的距離之和為定值，且cos∠F₁PF₂的最小值為-．

　　(1)求動點P的軌跡方程；

 

　　(2)若已知D(0，3)，M、N在動點P的軌跡上且=l，求實數(shù)l的取值范圍．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：由題意c2=5． 　　設(shè)|PF1|+|PF2|=2a(a＞)，由余弦定理，得 　　cos∠F1PF2= 　　　　　　 = 　　又 　　當且僅當|PF1|=|PF2|時，|PF1|·|PF2|取最大值 　　此時cos∠F1PF2取最小值 　　令= 　　解得a2=9，∵　c=，∴　b2=4 　　故所求P的軌跡方程為 　　(2)設(shè)N(s，t)，M(x，y) 　　則由，可得(x，y-3)=l(s，t-3) 　　故， 　　∵　M、N在動點P的軌跡上， 　　∴　且， 　　消去s可得， 　　解得， 　　又|t|≤2，　∴　，解答≤l≤5， 　　故實數(shù)的取值范圍是[，5]．

提示：

為了求參數(shù)的取值范圍，只要列出關(guān)于參數(shù)的不等式，而建立不等式有多種方法，諸如：判別式法、均值不等式法、有界性法等等．新教材的高考已經(jīng)進行了5年，而解析幾何解答試題和向量綜合呈現(xiàn)了新高考的嶄新亮點，體現(xiàn)了向量知識的工具性和廣泛的應(yīng)用性．