Question

已知函數(shù)，x∈（1，2]，（Ⅰ）判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；（Ⅱ）求f（x）的值域．

Answer 1

解：（Ⅰ）解：f（x）在（1，2]上為增函數(shù)．證明如下：
設(shè)x₁，x₂是區(qū)間（1，2]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)且x₁＜x₂，
則
=（x₁-x₂）（x₁+x₂）-=（x₁-x₂）（x₁+x₂+）
∵1＜x₁＜x₂≤2
∴x₁+x₂+＞0　x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0　　即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（1，2]上為增函數(shù)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）在（1，2]上為增函數(shù)，
所以f（x）在（1，2]上的值域：．
分析：（Ⅰ）任取3≤x₁＜x₂≤5，我們構(gòu)造出f（x₂）-f（x₁）的表達(dá)式，根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)，我們易出f（x₂）-f（x₁）的符號(hào)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，得到答案；
（Ⅱ）根據(jù)（1）可知函數(shù)的單調(diào)性，將區(qū)間端點(diǎn)的值代入即可求出函數(shù)的值域．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，以及應(yīng)用單調(diào)性求函數(shù)的最值，同時(shí)還考查了學(xué)生的變形，轉(zhuǎn)化能力，屬中檔題．