Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（-1，-2）、B（2，3）、C（-2，-1）．
（1）求以線(xiàn)段AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)；
（2）求

AB

和

AC

夾角的余弦值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)t滿(mǎn)足（

AB

-t

OC

）•

OC

=

OA

•

OC

，若存在，求t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意及向量加法的平行四邊形法則知BC是其中一條對(duì)角線(xiàn)，另一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度是向量

AB

+

AC

的長(zhǎng)度，所以根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出向量的坐標(biāo)，再求出向量的長(zhǎng)度即可．
（2）根據(jù)向量的坐標(biāo)及向量夾角的余弦公式求解即可．
（3）假設(shè)存在t，帶入坐標(biāo)，進(jìn)行數(shù)量級(jí)的坐標(biāo)運(yùn)算，求a即可．

解答： 解：（1）由題意得：BC是其中一條對(duì)角線(xiàn)，且

BC

=(-4，-4)；
∴|

BC

|=

32

=4

2

；
根據(jù)向量加法的平行四邊形法則知，另一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為：|

AB

+

AC

|=|（2，6）|=2

10

．
（2）

AB

=(3，5)，

AC

=(-1，1)，|

AB

|=

34

，|

AC

|=

2

，

AB

•

AC

=2；
設(shè)向量

AB

，

AC

的夾角為θ，則：
cosθ=

2

34 • 2

=

17

17

．
（3）假設(shè)存在t，則：
[（3，5）-t（-2，-1）]•（-2，-1）=（-1，-2）•（-2，-1）
∴解得t=-3．

點(diǎn)評(píng)：考查由點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的長(zhǎng)度，向量加法的平行四邊形法則，兩向量夾角的余弦公式，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．