Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)M(

2

，1)，且左焦點(diǎn)為F1(-

2

，0)
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)過(guò)點(diǎn)P（4，1）的動(dòng)直線l與橢圓C相交于兩不同點(diǎn)A，B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足|

AP

|•|

QB

|=|

AQ

|•|

PB

|，證明：點(diǎn)Q總在某定直線上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過(guò)橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)知c=

2

，且有a²=b²+c²，又點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足橢圓方程，則列方程組解之即可；
（Ⅱ）欲證點(diǎn)Q總在某定直線上，所以先設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為變量（x，y），點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為參數(shù)（x₁，y₁）、（x₂，y₂），然后根據(jù)已知條件可變形得

| AP |

| PB |

=

| AQ |

| QB |

，設(shè)其比值為λ則有

AP

=-λ

PB

、

AQ

=λ

QB

，此時(shí)利用定比分點(diǎn)定理可得A、B、P三點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)系及縱坐標(biāo)關(guān)系，同時(shí)可得A、B、Q三點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)系及縱坐標(biāo)關(guān)系，又因?yàn)辄c(diǎn)A、B的坐標(biāo)滿足橢圓方程，則有x₁²+2y₁²=4，x₂²+2y₂²=4，再利用已得關(guān)系式構(gòu)造x₁²+2y₁²與x₂²+2y₂²則可整體替換為4，同時(shí)消去參數(shù)λ，最后得到變量x、y的關(guān)系式，則問(wèn)題得證．

解答：解：（Ⅰ）由題意得

c2=2 2 a2 + 1 b2 =1 c2=a2-b2

，
解得a²=4，b²=2，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由題設(shè)知|

AP

|，|

PB

|，|

AQ

|，|

QB

|均不為零，記λ=

| AP |

| PB |

=

| AQ |

| QB |

，則λ＞0且λ≠1
又A，P，B，Q四點(diǎn)共線，從而

AP

=-λ

PB

，

AQ

=λ

QB

于是4=

x1-λx2

1-λ

，1=

y1-λy2

1-λ

，x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

從而

x 2 1 -λ2 x 2 2

1-λ2

=4x①，

y 2 1 -λ2 y 2 2

1-λ2

=y②，
又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即x₁²+2y₁²=4 ③，x₂²+2y₂²=4 ④，
①+②×2并結(jié)合③、④得4x+2y=4，
即點(diǎn)Q（x，y）總在定直線2x+y-2=0上．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查橢圓性質(zhì)與定比分點(diǎn)定理，同時(shí)考查構(gòu)造消元處理方程組的能力．