Question

若a＞0，b＞0，a+b=2，則下列不等式：
①ab≤1；②

a

+

b

≤

2

；③a²+b²≥2；④

1

a

+

1

b

≥2，
其中成立的是

 

（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：不等關(guān)系與不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：①利用基本不等式的性質(zhì)即可得出；
②平方作差就看得出；
③利用a²+b²≥

(a+b)2

2

即可得出；
④變形

1

a

+

1

b

=

1

2

（a+b）(

1

a

+

1

b

)=

1

2

(2+

b

a

+

a

b

)，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：①∵a＞0，b＞0，a+b=2，∴2≥2

ab

，即ab≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào)，成立；
②(

a

+

b

)2-(

2

)2=a+b+2

ab

-2=2

ab

＞0，∴

a

+

b

＞

2

，因此不成立；
③a²+b²≥

(a+b)2

2

=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào)，成立；
④

1

a

+

1

b

=

1

2

（a+b）(

1

a

+

1

b

)=

1

2

(2+

b

a

+

a

b

)≥

1

2

(2+2

b a • a b

)=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào)．
綜上可得：成立的是①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、作差法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．