Question

已知二次函數(shù)f（x）=mx²-2x-3，關(guān)于實數(shù)x的不等式f（x）≤0的解集為（-1，n）
（1）當a＞0時，解關(guān)于x的不等式：ax²+n+1＞（m+1）x+2ax；
（2）是否存在實數(shù)a∈（0，1），使得關(guān)于x的函數(shù)y=f（a^x）-3a^x+1（x∈[1，2]）的最小值為-5？若存在，求實數(shù)a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)韋達定理得方程組求出m，n的值，再通過討論a的范圍，從而求出不等式的解集；
（2）把m=1代入方程，得出y=（a^x）²-（3a+2）a^x-3，令a^x=t，（a²≤t≤a），則y=t²-（3a+2）t-3，得出函數(shù)的單調(diào)性，從而表示出y=f（t）的最小值，進而求出a的值．

解答： 解：（1）由不等式mx²-2x-3≤0的解集為（-1，n）知
關(guān)于x的方程mx²-2x-3=0的兩根為-1和n，且m＞0
由根與系數(shù)關(guān)系，得

-1+n= 2 m -1×n=- 3 m

∴

m=1 n=3

，
所以原不等式化為（x-2）（ax-2）＞0，
①當0＜a＜1時，原不等式化為(x-2)(x-

2

a

)＞0，且2＜

2

a

，解得x＞

2

a

或x＜2；
②當a=1時，原不等式化為（x-2）²＞0，解得x∈R且x≠2；③
④當a＞1時，原不等式化為(x-2)(x-

2

a

)＞0，且2＞

2

a

，解得x＜

2

a

或x＞2；
綜上所述
當0＜a≤1時，原不等式的解集為{x|x＞

2

a

或x＜2}；
當1＜a＜2時，原不等式的解集為{x|x＞2或x＜

2

a

 }．
（2）假設(shè)存在滿足條件的實數(shù)a，
由（1）得：m=1，
∴f（x）=x²-2x-3，
∴y=f（a^x）-3a^x+1
=a^2x-2a^x-3-3a^x+1
=（a^x）²-（3a+2）a^x-3，
令a^x=t，（a²≤t≤a），
則y=t²-（3a+2）t-3
∴對稱軸為：t=

3a+2

2

，
又0＜a＜1，
∴a²＜a＜1，1＜

3a+2

2

＜

5

2

，
∴函數(shù)y=t²-（3a+2）t-3在[a²，a]遞減，
∴t=a時，y最小為：y=-2a²-2a-3=-5，
解得：a=

5 -1

2

，

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查不等式的解法，考查分類討論思想，換元思想，是一道綜合題．