Question

如圖在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：

x2

24

+

y2

12

=1設(shè)R（x₀，y₀）是橢圓C上任意一點(diǎn)，從原點(diǎn)O向圓R：（x-x₀）²+（y-y₀）²=8做兩條切線，分別交橢圓于P、Q．
（1）若直線OP、OQ互相垂直，求圓R的方程；
（2）若直線OP、OQ的斜率存在并記為k₁、k₂，求證：2k₁k₂+1=0；
（3）試問(wèn)：OP²+OQ²是否為定值？若是，請(qǐng)求值；若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由圓R的方程知，圓R的半徑r=2

2

，x02+y02=16，

x02

24

+

y02

12

=1，由此能求出圓R的方程．
（2）由已知得（x02-8）k12-2x0y0k1+y02-8=0，(x02-8)k22-2x0y0k2+y02-8=0，由此能證明2k₁k₂+1=0．
（3）當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立

y=k1x x2 24 + y2 12 =1

，得x12+y12=

24(1+k12)

1+2k12

，同理，x22+y22=

24(1+k22)

1+2k22

，由此能求出OP²+OQ²=36．

解答： （1）解：由圓R的方程知，圓R的半徑r=2

2

，
因?yàn)橹本�OP，OQ互相垂直，且和圓R相切，
所以|OR|=

2

r=4，即x02+y02=16，①…1分
又點(diǎn)R在橢圓C上，所以

x02

24

+

y02

12

=1，②…2分
聯(lián)立①②，解得

x0=±2 2 y0=±2 2

，…3分
所以所求圓R的方程為（x±2

2

）²+（y±2

2

）²=8． …4分
（2）證明：因?yàn)橹本�OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，與圓R相切，
所以

|k1x0-y0|

1+k12

=2

2

，化簡(jiǎn)得（x02-8）k12-2x0y0k1+y02-8=0，…6分
同理(x02-8)k22-2x0y0k2+y02-8=0，…7分
所以k₁，k₂是方程(x02-8)k2-2x0y0k+y02-8=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
k1•k2=

-b+ b2-4ac

2a

•

-b- b2-4ac

2a

=

c

a

=

y02-8

x02-8

，…8分
因?yàn)辄c(diǎn)R（x₀，y₀）在橢圓C上，
所以

x02

24

+

y02

12

=1，即y02=12-

1

2

x02．
所以k1•k2=

4- 1 2 x02

x02-8

=-

1

2

，即2k₁k₂+1=0．…10分
（3）解：OP²+OQ²是定值，定值為36，…11分
理由如下：
（i）當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=k1x x2 24 + y2 12 =1

，解得

x12= 24 1+2k12 y12= 24k12 1+2k12

，…12分
所以x12+y12=

24(1+k12)

1+2k12

，
同理，得x22+y22=

24(1+k22)

1+2k22

，…13分
由k1k2=

1

2

，
得OP²+OQ²=x12+y12+x22+y22
=

24(1+k12)

1+2k12

+

24(1+k22)

1+2k22

=

24(1+k12)

1+2k12

+

24(1+(- 1 2k1 )2)

1+2(- 1 2k1 )2

=

36+72k12

1+2k12

=36．…15分
（ii）當(dāng)直線 落在坐標(biāo)軸上時(shí)，有OP²+OQ²=36，
綜上：OP²+OQ²=36．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓R的方程的求法，考查2k₁k₂+1=0的證明，考查OP²+OQ²是否為定值的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．