Question

已知雙曲線(xiàn)

x2

9

-

y2

16

=1的左右頂點(diǎn)分別為A₁A₂，點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)上任一點(diǎn)，Q是P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求直線(xiàn)A₁P與A₂Q交點(diǎn)M的軌跡E的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)點(diǎn)p（x₀，y₀），為A₁（-3，0），A₂（3，0），直線(xiàn)A₁P方程是y=

y0

x+3

（x+3），①；線(xiàn)A₂Q的方程是y=

-y0

x0-3

（x-3），②；

x 2 0

9

-

y 2 0

16

=1，③
3個(gè)方程聯(lián)合化簡(jiǎn)即可得出直線(xiàn)A₁P與A₂Q交點(diǎn)M的軌跡E的方程．

解答： 解：雙曲線(xiàn)的左右頂點(diǎn)分別為A₁（-3，0），A₂（3，0），點(diǎn)p（x₀，y₀），
設(shè)M關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q（x₀，-y₀）
直線(xiàn)A₁P方程是y=

y0

x+3

（x+3），①
線(xiàn)A₂Q的方程是y=

-y0

x0-3

（x-3），②

x 2 0

9

-

y 2 0

16

=1，③
①×②得；y²=

-y02

x 2 0 -9

（x²-9）④
即x

2 0

=9（

y02

16

+1）⑤
把⑤代入③方程化簡(jiǎn)得交點(diǎn)P的軌跡E的方程：

x2

9

+

y2

16

=1，（x≠0，y≠0）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考察了直線(xiàn)，雙曲線(xiàn)的方程，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，聯(lián)合化簡(jiǎn)得出軌跡方程，運(yùn)算仔細(xì)．