Question

已知函數(shù)f（x）=

3

2

x²+2ax-a²lnx-1
（1）a≠0時，討論函數(shù)f（x）的單調性；
（2）若不等式2xlnx≤xf′（x）+a²+1恒成立，其中f′（x） f（x）是f（x）的導數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：（1）求出f′（x）=3x+2a-

a2

x

，（x＞0），分類討論當a＜0時，當a＞0時，解不等式即可．
（2）構造函數(shù)h（x）=lnx-

3x

2

-

1

2x

，h′（x）=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

，求解最大值，即可求解a的取值范圍．

解答： 解：（1）以題意得：函數(shù)的定義域為：（0，+∞），
∵函數(shù)f（x）=

3

2

x²+2ax-a²lnx-1，
∴f′（x）=3x+2a-

a2

x

，（x＞0），
由f′（x）=3x+2a-

a2

x

=0，（x＞0），
得出：x=-a，x=

a

3

，
當a＜0時，由f′（x）＜0（x＞0），得0＜x＜-a，
由f′（x）＞0（x＞0），得x＞-a，
∴函數(shù)f（x）=

3

2

x²+2ax-a²lnx-1，單調遞增為（-a，+∞），單調遞減為（0，-a，）；
當a＞0時，由f′（x）＜0，（x＞0），
得：0＜x＜

a

3

，
由f′（x）＞0，（x＞0），得x＞

a

3

；
∴函數(shù)f（x）=

3

2

x²+2ax-a²lnx-1，單調遞增為（

a

3

，+∞），單調遞減為（0，

a

3

），
（2）以題意x∈（0，+∞），不等式2xlnx≤xf′（x）+a²+1恒成立，
等價于2xlnx≤²+2ax+1在（0，+∞）上恒成立，
可得：a≥lnx-

3x

2

-

1

2x

，在（0，+∞）上恒成立，
設h（x）=lnx-

3x

2

-

1

2x

，h′（x）=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

，
h′（x）=0，得：x=1，x=-

1

3

（舍去），
當0＜x＜1時，h′（x）＞0，
當x＞1時，h′（x）＜0，
∴當x=1時，h（x）_max=-2，
∴a≥-2，
∴實數(shù)a的取值范圍：（-2，+∞）．

點評：本題考查了利用導數(shù)在函數(shù)單調性中的應用，運用導數(shù)求解函數(shù)最值，解決不等式恒成立問題，屬于難題．