Question

已知函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0，且a≠1）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上的最大值為2，求a的值；
（2）若0＜a＜1，求使得f（2^x-1）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),指、對數(shù)不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）分類討論得出當(dāng)a＞1時，log_a2=2，當(dāng)0＜a＜1時，log_a

1

2

=2，
（2）轉(zhuǎn)化得出log_a（2^x-1）＞log_a1，又0＜a＜1，則0＜2^x-1＜1，求解即可．

解答： 解：（1）當(dāng)a＞1時，f（x）=log_ax在區(qū)間[

1

2

，2]上是增函數(shù)．
因此，f_max（x）=log_a2，則log_a2=2，
解得：a=

2

，
當(dāng)0＜a＜1時，f（x）=log_ax在區(qū)間[

1

2

，2]上是減函數(shù)．
因此，f_max（x）=log_a

1

2

，則log_a

1

2

=2，
解得：a=

2

2

，
綜上：a=

2

或a=

2

2

（2）不等式f（2^x-1）＞0，
即log_a（2^x-1）＞log_a1，
又0＜a＜1，則0＜2^x-1＜1，
即1＜2^x＜2，
所以0＜x＜1．

點(diǎn)評：本題考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分類討論的思想，方程思想，難度不大，屬于中檔題．