Question

已知a₁=1，且

2an

anSn-Sn2

=1（n≥2），求a_n．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答： 解：當n≥2時，

2an

anSn-Sn2

=1，即2a_n=a_nS_n-S_n²，
∵此時a_n=S_n-S_n-1．
∴2（S_n-S_n-1）=（S_n-S_n-1）S_n-S_n²=-S_n-1S_n，
即S_n-S_n-1=-

1

2

S_n-1S_n，
則

Sn-Sn-1

SnSn-1

=

1

Sn-1

-

1

Sn

=-

1

2

，
則

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，
即數(shù)列{

1

Sn

}是公比q=

1

2

的等比數(shù)列，首項為

1

Sn

=

1

a1

=1，
則

1

Sn

=1•(

1

2

)n-1，
則S_n=2^n-1，
則當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1-2^n-2=2^n-2，
∵a₁=1，
∴a_n=

1， n=1 2n-2， n≥2

．

點評：本題主要考查數(shù)列的通項公式，利用數(shù)列的遞推關(guān)系結(jié)合數(shù)列的通項公式和前n項公式的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．