Question

14．某市政府欲在如圖所示的矩形ABCD的非農(nóng)業(yè)用地中規(guī)劃出一個休閑娛樂公園（如圖中陰影部分），形狀為直角梯形OPRE（線段EO和RP為兩條底邊），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中曲線AF是以A為頂點、AD為對稱軸的拋物線的一部分．
（1）求曲線AF與AB，BF所圍成區(qū)域的面積；
（2）求該公園的最大面積．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線方程y=ax²（a＞0），把F的坐標(biāo)代入求得a值得答案；
（2）由題意求出E，C的坐標(biāo)，得到直線EC的方程，設(shè)P（x，x²）（0＜x＜2），由梯形面積公式得到公園的面積S，利用導(dǎo)數(shù)求得公園的最大面積．

解答 解：（1）以A為原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)曲線AF所在拋物線方程為y=ax²（a＞0），
∵拋物線過F（2，4），∴4=a×2²，得a=1．
∴AF所在拋物線方程為y=x²．
則曲線AF與AB，BF所圍成區(qū)域的面積$S{=∫}_{0}^{2}{x}^{2}dx=\frac{1}{3}{x}^{2}{|}_{0}^{2}=\frac{8}{3}$ km²；
（2）又E（0，4），C（2，6），則EC所在直線方程為y=x+4．
設(shè)P（x，x²）（0＜x＜2），則PO=x，OE=4-x²，PR=4+x-x²，
∴公園的面積S=$\frac{1}{2}（4-{x}^{2}+4+x-{x}^{2}）•x=-{x}^{3}+\frac{1}{2}{x}^{2}+4x$（0＜x＜2）．
∴S′=-3x²+x+4，
令S′=0，得x=$\frac{4}{3}$或x=-1（舍去）．
當(dāng)x變化時，S′和S的變化情況如下表：

x	（0，$\frac{4}{3}$）	$\frac{4}{3}$	（$\frac{4}{3}，2$）
S′	+	0	-
S	單調(diào)遞增	極大值$\frac{104}{27}$	單調(diào)遞減

當(dāng)x=$\frac{4}{3}$時，S取得最大值$\frac{104}{27}$．
故該公園的最大面積為$\frac{104}{27}$．

點評 本題考查簡單的數(shù)學(xué)建模思想方法，考查了拋物線方程的求法，訓(xùn)練了利用定積分求曲邊梯形的面積，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，是中檔題．