Question

14．已知f（x）=x²-2ax+2，當(dāng)x∈[-1，3]，f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x²-2ax+2-a≥0當(dāng)x∈[-1，3]時(shí)恒成立，通過(guò)討論判別式以及a的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：∵f（x）=x²-2ax+2，當(dāng)x∈[-1，3]時(shí)，f（x）≥a恒成立
∴x²-2ax+2-a≥0當(dāng)x∈[-1，3]時(shí)恒成立  ①
△=4a²-4（2-a）≤0時(shí)，①式成立，解得-2≤a≤1，
△=4a²-4（2-a）≥0時(shí)，得a＜-2或a＞1
又f（x）=x²-2ax+2-a的對(duì)稱軸是x=a，
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)的最小值是a²-2a²+2-a≥0，解得-2≤a≤1，此種情況下無(wú)解，
當(dāng)a＜-2時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[-1，3]上是增函數(shù)，最小值在x=-1時(shí)取到，所以函數(shù)的最小值是3+a≥0，解得a≥-3，故有-3≤a＜-2
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-3，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．