Question

19．求下列代數(shù)式的最值：
（1）已知x＞4，求x-3+$\frac{1}{x-4}$的最小值；
（2）已知x＜1，求x+1+$\frac{1}{x-1}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得x-4＞0，可得x-3+$\frac{1}{x-4}$=x-4+$\frac{1}{x-4}$+1，由基本不等式可得；
（2）由題意可得x-1＜0，可得x+1+$\frac{1}{x-1}$=x-1+$\frac{1}{x-1}$+2，由基本不等式可得．

解答 解：（1）∵x＞4，∴x-4＞0，
∴x-3+$\frac{1}{x-4}$=x-4+$\frac{1}{x-4}$+1≥2$\sqrt{（x-4）\frac{1}{x-4}}$+1=3，
當(dāng)且僅當(dāng)x-4=$\frac{1}{x-4}$即x=5時(shí)取等號(hào)，
∴所求式子的最小值為3；
（2）∵x＜1，∴x-1＜0，
∴x+1+$\frac{1}{x-1}$=x-1+$\frac{1}{x-1}$+2≤-2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+2=0
當(dāng)且僅當(dāng)x-1=$\frac{1}{x-1}$即x=0時(shí)取等號(hào)，
∴所求式子的最大值為0

點(diǎn)評 本題考查基本不等式求最值，變形為可用基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．